Cubo da diferença de dois termos

O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo, mais três vezes o produto do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo termo, menos o cubo do segundo termo:

Exemplos:

Cubo da soma de dois termos

O cubo da soma de dois termos é igual os cubo do primeiro termo mais três vezes o quadrado do primeiro pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro pelo quadrado do segundo termo, mais o  cubo do segundo termo.

Exemplos:
(a + b)³ = a·(a – 3·b)² + b·(b – 3·a)<sup>2

              (x + 1)³ =
x³ + 3 . x² . 1 + 3 . x . (1)² + (1)³=
          x³ + 3x² + 3x + 1

            (2x + 1)³=
 2x³ + 3 . 2x²1 + 3 . 2x1² + 1³=
     8x³ + 12x² + 6x +1</sup>

Produto da soma pela diferença de dois termos

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

Quadrado da diferença de dois termos

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:
(a - b)² = a² - 2ab + b²

(x - y)² = x² - 2xy + y²

      ( x - 3)² =
x² - 2 . x . 3 + 3² =
    x² - 6x + 9

      (8 - x)² =
8² - 2 . 8 . x + x² =
  64 - 16x + x²

Quadrado da soma de dois termos

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:
(x + y )² = x² + 2xy + y²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

    (2x + 10)² =
4x²+2.2x.10+10 ²=
4x² + 40x + 100

     (6 + x)² =
6 + 2 . 6 . x + x²=
36 + 12x + x²

     (2c + 2d) ² =
2c² + 2 . 2c . 2d + 2d²=
   4c² + 8cd + 4d²

DICA ~~> Quadrado do 1º + duas vezes o 1º vezes o 2º + quadrado do 2º !

Produtos notáveis

Os produtos notáveis são produtos de expressões algébricas utilizados com frequência e tem regras definidas que facilitam sua determinação.

Alguns dos produtos notáveis:
(a + b)² ~~> quadrado da soma de dois termos
(a - b)² ~~> quadrado da diferença de dois termos
(a + b) (a - b) ~~> produto da soma pela diferença de dois termos
( a + b )³ ~~> cubo da soma de dois termos
(a - b)³ ~~> cubo da diferença de dois termos.

Polinômios ( continuação )

Multiplicação de polinômio por polinômio:

Divisão de polinômios:

Polinômios

Qualquer adição algébrica de monômios denomina-se polinômio.

Exemplos de polinômios:
5x + 8 ~~> polinômio de dois termos;
y² - 7y + 10 ~~> polinômio de três termos;
a³  + 5a²b + 6ab² + b³ ~~> polinômio de quatro termos.

Grau de um polinômio:
O grau de um polinômio não-nulo é determinado pelo termo de maior grau não-nulo.

Podemos estabelecer o gr4au de um polinômio em relação a uma determinada variável. Nesse caso, o grau do polinômio corresponde ao maior expoente com que a variável figura em um dos termos não-nulos do polinômio.

Exemplos: 


Polinômios com uma só variável:
Os polinômios: x² + 2x + 1 e 6x³ + 2x² + 4 são chamados polinômios com uma variável ou polinômios na variável x.

Adição de polinômios:

Subtração de polinômios:

Monômios ( termo algébrico )

Adição de Monômios:

Regras:
1º passo: identificar os termos semelhantes.
2º passo: somar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes.
3º passo: conservar a parte literal.
4º passo: simplificar a expressão e colocar a resposta correta.

EX 1:     5ab + 3b - 5a + a - 2b - 3ab=
             5ab - 3ab + 3b - 2b - 5a + a=
                      2ab + b - 4a


EX 2:   3x³y² - 2xy + x³y² - 3xy + 4xy - x³y²=
          3x³y ²+ x³y²  -x³y² - 2xy  -3xy  +4xy=
                            3x³y² - xy
     

Multiplicação de Monômios: 

Regras:
1º passo: multiplicar os coeficientes.
2º passo: conservar a parte literal e somar os expoentes ou juntar as variáveis que são diferentes.

EX 1:           3x²y . 5xy=
                       15x³y²

EX 2:            2m - 5n . 1/3p=
                         10/3mnp

Potência de Monômios:

Regras:
1º passo: elevar o coeficiente numérico à potência dada na questão.
2º passo: multiplicar os expoentes das variáveis com o expoente das variáveis com o expoente da questão ( o expoente que está fora dos parenteses ).
3º passo: escrever corretamente o resultado obtido.

EX 1:
 
Raiz quadrada de um monômio:

Regras:
1º passo: calcular a raiz quadrada do coeficiente numérico.
2º passo: dividir por "2" o expoente de cada variável.
3º passo: escrever corretamente o resultado dado.

EX 1:    

Valor numérico

Valor numérico de uma expressão algébrica é o resultado que se obtém quando se substituem as variáveis em uma determinada expressão algébrica por valores numéricos e se efetuam as operações indicadas.

Exemplo: dada a expressão algébrica :

• Se a = 7 e b = 4, o seu valor numérico será 

Duas expressões algébricas são equivalentes quando elas assumem o mesmo valor numérico, para quaisquer valores assumidos por suas variáveis e incógnitas.

Expressões algébricas

  Toda expressão matemática composta de números e letras ou somente de letras é denominada expressão algébrica ou literal.
Alguns exemplos:
3x+2y
ab+c²
x³+y³
Nas expressões algébricas, as letras são chamadas variáveis, pois seus valores variam.

As expressões algébricas classificam-se em:

• Racionais: quando não contém variável ou variáveis no radical.
• Irracionais: quando contêm variável ou variáveis no radical.

As expressões algébricas racionais, dividem-se em :

• Inteiras: quando não contém variável ou variáveis no denominador.
• Fracionárias: quando contém variável ou variáveis no denominador.
  
  As expressões algébricas podem ser utilizadas para representar situações problemas, como a proposta a seguir:
  
  1 – Determine a expressão que representa o perímetro das seguintes figuras:
  ( Perímetro: soma dos lados de qualquer polígono. )
  
  
  
  4x + 1 + 2x + 4x + 1 + 2x =
  12x + 2

Radiciação

A radiciação é uma operação matemática oposta à potenciação.

Para um número real a, a expressão  representa o único número real x que verifica  e tem o mesmo sinal que a (quando existe). Quando n é omitido, significa que n=2 e o símbolo de radical refere-se à raiz quadrada. A x chama-se a raiz, a n índice, a a radicando e a  radical.

Alguns exemplos:

Propriedades da Potência

Produto de potência de mesma base  

Sem utilizar essa propriedade resolveríamos uma multiplicação de potência de mesma base da seguinte forma: 

2² . 2³ = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2⁵ = 32 

Utilizando a propriedade de produtos de mesma base, resolvemos da seguinte forma: como é um produto de bases iguais, basta repetir a base e somar os expoentes. 

2² . 2³ = 2^{2 + 3} = 2⁵ = 32 

5¹ . 5³ = 5^{1 + 3} = 5⁴ = 625 

Quocientes de potências de mesma base 

Sem utilizar dessa propriedade, o cálculo do quociente com potência 128 : 126 ficaria da seguinte forma: 

12⁸ : 12⁶ = 429981696 : 2985984 = 144 

Utilizando a propriedade do quociente de mesma base, a resolução ficaria mais simplificada, veja: como nessa divisão as bases são iguais, basta repetir a base e diminuir os expoentes. 

12⁸ : 12⁶ = 12^{8 – 6} = 12² = 144 

(-5)⁶ : (-5)² = (-5)^{6 – 2} = (-5)⁴ = 625 

Potência de Potência 
Quando nos deparamos com a seguinte potência (3²)³ resolvemos primeiro a potência que está dentro dos parênteses e depois, com o resultado obtido, elevamos ao expoente de fora, veja: 

(3²)³ = (3 . 3)³ = 9³ = 9 . 9 . 9 = 729 

Utilizando a propriedade de potência, a resolução ficará mais simplificada: basta multiplicarmos os dois expoentes, veja: 

(3²)³ = 3^{2 . 3} = 3⁶ = 729 

(-9¹)² = (-9)^{1 . 2} = (-9)² = 81 

Potenciação

As principais operações são: adição, subtração, divisão e multiplicação. Utilizando o processo da multiplicação podemos encontrar outra operação: a potenciação, que para a realização de seus cálculos é necessário saber multiplicar. 

Os números envolvidos em uma multiplicação são chamados de fatores e o resultado da multiplicação é o produto, quando os fatores são todos iguais existe uma forma diferente de fazer a representação dessa multiplicação que é a potenciação. 

2 . 2 . 2 . 2 = 16 → multiplicação de fatores iguais. 

Podemos representar a mesma multiplicação da seguinte forma: 

2 . 2 . 2 . 2 = 2⁴ = 16 
           ↓ 
Fatores iguais. 

Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais, podemos montar uma potência. 

Representamos uma potência da seguinte forma: 


A base sempre será o valor do fator. 
O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete. 
A potência é o resultado do produto.

Potenciação com números negativos

Observe os exemplos abaixo:

(-3)² = 9
-3² = -9

O sinal de negativo ( – ) na frente do três, só fará parte da potenciação quando estiver dentro de um parêntese, caso contrário, ele continua no seu lugar no resultado.

Porém, no primeiro exemplo, o expoente é 2, número par, por isto o negativo do 3 ao final se transforma em positivo. Se fosse 3, o resultado seria negativo:
(-3)³ = (-3) . (-3) . (-3) = 9 . (-3) = -27

se tirarmos os parênteses

-3³ = – 3 . 3 . 3 = -9 . 3 = -27

Fração Geratriz

A fração geratriz é aquela que dá origem a uma dízima periódica. A fração geratriz, quando representada na forma decimal, produz dízimas periódicas simples ou compostas. Portanto, toda dízima periódica (número decimal) deve possuir uma forma fracionária, por isso demonstraremos como transformar  números decimais em frações geratrizes. Primeiro vamos observar alguns exemplos de números racionais com períodos:  
0,33333333... , período 3 (um algarismo) 
0,23232323..., período 23 (dois algarismos) 
0,562562562..., período 562 (três algarismos) 

Para encontrarmos a fração geratriz seguimos os seguintes passos. 1º passo – relacionar a dízima periódica com uma incógnita 

x = 0,333333... 

2º passo – multiplicar os dois lados da igualdade por um múltiplo de 10, de acordo com a quantidade de algarismos do período, por exemplo: 

um algarismo, multiplicar por 10 
dois algarismos, multiplicar por 100 
três algarismos, multiplicar por 1000, e assim sucessivamente. 

x = 0,333333 ... * 10 
10x = 3,3333 ... 

3º passo – subtrair a segunda igualdade da primeira igualdade 

10x = 3,3333 
– x = 0,3333 
9x = 3 

9x = 3 
x = 3/9 

Números irracionais

O conjunto dos números irracionais é representado pela letra I ( maiúscula ). Os números irracionais são aqueles que não podem ser representados por meio de uma fração. O surgimento desses números veio de um antigo problema que Pitágoras se recusava a aceitar, que era o cálculo da diagonal de um quadrado, cujo lado mede 1 unidade, diagonal esta que mede √2. Este número deu início ao estudo de um novo conjunto, representado pelos números irracionais. 
 Todos números que possuírem representação decimal infinita e não-periódica serão números irracionais. 
 Algumas observações:

• Os números irracionais não podem ser escritos na forma de fração com denominador e numerador inteiros.
• As raízes quadradas de números inteiros positivos que não são quadrados perfeitos são números irracionais. Exemplos:
  Estes são os números irracionais, cujo valor da última casa decimal nunca saberemos.

Números racionais

O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser escritos em forma de fração, com o seu numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero. Um número racional também pode ter representação decimal finita ou infinita periódica.
 O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q ( maiúscula ) .   Todo número natural e todo número inteiro vai ser um número racional, ou seja, N pertence a Q e Z pertence a Q.
Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q.

Q^* -- É o conjunto dos números racionais diferentes de zero.

Q₊ -- É o conjunto dos números racionais positivos e o zero.

Q_- -- É o conjunto dos números racionais negativos e o zero.

Q_^*+ -- É o conjunto dos números racionais positivos.

Q^*_- -- É o conjunto dos números racionais negativos. 

Números Inteiros

O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z maiúscula. Esse conjunto é formado pelo conjunto dos números naturais ( N ) incluindo o número 0, os números positivos e os números negativos.
Exemplo: Z = {.... , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ....} Dentro do conjunto dos números Inteiros podemos localizar o conjunto dos números Naturais, com isso, podemos afirmar que N está contido em Z. Exemplos de subconjuntos do conjunto Z :
 Conjunto dos números inteiros excluído o número zero: Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}
Conjunto dos números inteiros não negativos: Z₊ = {0, 1, 2, 3, 4,...}
Conjunto dos números inteiros não positivos: Z_- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}

Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:

Números Naturais

O conjunto dos números naturais é formados por : números inteiros positivos * incluindo o zero * . Esse conjunto é representando pela letra N maiúscula ! O conjunto deve sempre estar entre chaves, exemplo : N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... }
Obs: Quando formos representar o Conjunto dos números Naturais não nulos (excluindo o zero) devemos colocar * ao lado do N.
Exemplo:
N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... } 
O sinal de reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um número ao conjunto.Exemplo:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }

O conjunto N é infinito, pois todo número natural tem um sucessor !

Apresentação

Blog feito pelas alunas do 8º ano ( 7ª série ) do turno vespertino da disciplina de Matemática do Centro Educacional Objetivo ( CEOB ) . Trabalho solicitado pelo professor de Matemática Anderson Macedo.


Componentes :

Danielle Barbosa ;
Márcya Ellen ;
Islany Oliveira ;
Gabriella Reis ;
Keilane Carmo ;
Maria Luíza !